Упр.32 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно $$a$$, а угол основания равен $$60^\circ$$.

Рассмотрим основание параллелепипеда $$ABCD$$. Так как $$AB=AD=a$$ и $$\angle BAD=60^\circ$$, то треугольник $$ABD$$ равнобедренный. По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ$$
$$BD^2=a^2+a^2-2a^2\cdot \frac12=a^2$$
значит, $$BD=a$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBB_1$$. Тогда

$$B_1D=\sqrt{BD^2+BB_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Найдём диагональ основания $$AC$$. В треугольнике $$ADC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos(180^\circ-60^\circ)$$
$$AC^2=a^2+a^2-2a^2\cdot\left(-\frac12\right)=3a^2,$$
следовательно, $$AC=a\sqrt{3}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Тогда

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a.$$

Ответ: $$a\sqrt{2}$$ и $$2a$$.