Упр.32 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, a угол основания равен 60°.

Рассмотрим основание $$ABD$$. Так как $$AB=AD=a$$ и $$\angle BAD=60^\circ$$, то треугольник $$ABD$$ равнобедренный с углом между равными сторонами $60^\circ$, значит он равносторонний. Следовательно,

$$BD=AB=a.$$

Найдём диагональ боковой грани $$BB_1D$$. Это прямоугольный треугольник, поэтому

$$ B_1D=\sqrt{BD^2+BB_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}. $$

Теперь найдём диагональ основания $$AC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ADC$$:

$$ AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos(180^\circ-60^\circ). $$

Так как $$AD=DC=a$$ и $$\cos 120^\circ=-\frac12$$, то

$$ AC^2=a^2+a^2-2a^2\left(-\frac12\right)=3a^2, $$

откуда

$$AC=a\sqrt{3}.$$

Найдём пространственную диагональ $$AC_1$$. Треугольник $$ACC_1$$ прямоугольный, поэтому

$$ AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a. $$

Ответ: $$a\sqrt{2}$$ и $$2a$$.