Упр.32 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Два отрезка длины $$a$$ и $$b$$ упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины $$a$$) на плоскость равна $$c$$. Найдите проекцию второго отрезка.

Пусть $$AB=a$$ — первый отрезок, $$CD=b$$ — второй. Обозначим проекцию отрезка $$AB$$ на плоскость $$\beta$$ через $$BK$$, тогда по условию $$BK=c$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, расстояние между ними постоянно. Поэтому перпендикуляры, опущенные из точек $$A$$ и $$C$$ на плоскость $$\beta$$, равны между собой. Обозначим их длину через $$h$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ имеем:

$$AB^2=AK^2+BK^2$$

откуда

$$h=AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{a^2-c^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $$CD$$ и его проекцией на плоскость $$\beta$$. Если обозначить искомую проекцию через $$x$$, то

$$CD^2=h^2+x^2.$$

Следовательно,

$$x=\sqrt{CD^2-h^2}=\sqrt{b^2-(a^2-c^2)}=\sqrt{b^2-a^2+c^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{b^2-a^2+c^2}$$.