Упр.31 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Две хорды пересекаются внутри окружности под углом $$60^\circ$$. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как $$1:3$$.

Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, а дуги, заключённые между сторонами угла $$\angle BMC$$ и их продолжениями, равны $$\overset{\frown}{AD}$$ и $$\overset{\frown}{BC}$$. По условию

$$\angle BMC=60^\circ,\qquad \overset{\frown}{AD}:\overset{\frown}{BC}=1:3.$$

Обозначим $$\overset{\frown}{AD}=x$$, тогда $$\overset{\frown}{BC}=3x$$.

По теореме о пересекающихся хордах угол между ними равен половине суммы соответствующих дуг:

$$\angle BMC=\frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}.$$

Подставим значения:

$$60^\circ=\frac{x+3x}{2}=\frac{4x}{2}=2x,$$

откуда

$$x=30^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{AD}=30^\circ,\qquad \overset{\frown}{BC}=90^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$.