Упр.31 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см?

Рассмотрим диаметральное сечение шара. Пусть $$AB$$ — хорда, являющаяся линией пересечения окружности основания сектора с этим сечением. Тогда $$AB=60\text{ см}$$ и $$AB\perp CO$$, где $$O$$ — центр шара, $$C$$ — вершина сектора.

Обозначим через $$O_1$$ точку пересечения $$AB$$ и $$CO$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OBO_1$$ имеем

$$OO_1=\sqrt{OB^2-B O_1^2}=\sqrt{75^2-60^2}=45\text{ см}.$$

Высота шарового сектора равна

$$H=CO_1=CO-OO_1=75-45=30\text{ см}.$$

Теперь найдём объём меньшего шарового сектора:

$$V_1=\frac{2}{3}\pi R^2H=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 30=112500\pi\text{ см}^3.$$

Так как объём шара равен

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 75^3=562500\pi\text{ см}^3,$$

то объём второго шарового сектора:

$$V_2=V_{\text{шара}}-V_1=562500\pi-112500\pi=450000\pi\text{ см}^3.$$

Следовательно,

ответ: $$112500\pi\text{ см}^3$$ или $$112{,}5\pi\text{ дм}^3$$; $$450000\pi\text{ см}^3$$ или $$450\pi\text{ дм}^3$$.