Упр.31 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Пусть ромбом является боковая грань $$AA_1B_1B$$. Проведём $$A_1H \perp AB$$. Тогда $$A_1H$$ — высота призмы, а так как грань $$AA_1B_1B$$ — ромб, то

$$AB=AA_1=a.$$

Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, значит

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Найдём высоту призмы $$A_1H$$. В ромбе $$AA_1B_1B$$ диагональ $$A_1B$$ является большей, а меньшая диагональ равна $$c$$. Для ромба со стороной $$a$$ и диагоналями $$A_1B$$ и $$A B_1$$ имеем

$$A_1B^2+ c^2 = 4a^2,$$

откуда

$$A_1B=\sqrt{4a^2-c^2}.$$

Площадь треугольника $$AA_1B$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AA_1B}=\frac12\cdot AB\cdot A_1H=\frac{a}{2}\,A_1H,$$

и по формуле Герона, так как его стороны равны $$a,\ a,\ \sqrt{4a^2-c^2}$$:

$$ p=\frac{a+a+\sqrt{4a^2-c^2}}{2} $$
$$ S_{AA_1B}=\sqrt{p(p-a)(p-a)\bigl(p-\sqrt{4a^2-c^2}\bigr)} $$
$$ S_{AA_1B}=\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2}. $$

Тогда

$$\frac{a}{2}\,A_1H=\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2},$$

следовательно,

$$A_1H=\frac{c\sqrt{4a^2-c^2}}{2a}.$$

Теперь найдём объём призмы: