Упр.31 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной $$a$$; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна $$c$$. Найдите объем призмы.

Пусть ромбом является боковая грань $$AA_1B_1B$$. Проведём в ней высоту $$A_1H\perp AB$$. Тогда $$A_1H$$ — высота призмы, а так как грань ромб, то $$AB=AA_1=a$$.

Площадь основания призмы — площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Найдём высоту призмы $$A_1H$$. В ромбе $$AA_1B_1B$$ диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому меньшая диагональ равна $$c$$, а сторона ромба равна $$a$$. Тогда для треугольника с сторонами $$a, a, c$$ получаем

$$S_{AA_1B}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot A_1H=\frac{a}{2}A_1H.$$

С другой стороны, по формуле Герона:

$$S_{AA_1B}=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)},$$
где
$$p=\frac{2a+c}{2}.$$

Тогда

$$S_{AA_1B} =\sqrt{\frac{2a+c}{2}\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{2a-c}{2}} =\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2}.$$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$$\frac{a}{2}A_1H=\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2},$$
откуда
$$A_1H=\frac{c\sqrt{4a^2-c^2}}{2a}.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot A_1H =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{c\sqrt{4a^2-c^2}}{2a} =\frac{1}{8}ac\sqrt{12a^2-3c^2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{8}ac\sqrt{12a^2-3c^2}.$$