Упр.31 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямом параллелепипеде стороны основания $$3\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$, а одна из диагоналей основания $$4\ \text{см}$$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$.

Пусть $$B_1D$$ — меньшая диагональ параллелепипеда. Тогда её проекция на плоскость основания — диагональ $$BD$$, а угол между прямой $$B_1D$$ и плоскостью основания равен $$60^\circ$$.

Найдём высоту параллелепипеда. В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$

$$BB_1=BD\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём диагональ основания $$A_1C_1$$. Основание параллелепипеда — параллелограмм, поэтому для его диагоналей выполняется:

$$A_1C_1^2+B_1D_1^2=2A_1D_1^2+2B_1B^2.$$

Так как $$A_1D_1=AD=3\text{ см}$$, $$B_1D_1=BD=4\text{ см}$$, $$B_1B=DC=5\text{ см}$$, получаем

$$A_1C_1=\sqrt{2\cdot 3^2+2\cdot 5^2-4^2}=\sqrt{52}\text{ см}.$$

Большая диагональ параллелепипеда равна $$A_1C$$. В прямоугольном треугольнике $$CC_1A_1$$ по теореме Пифагора:

$$A_1C=\sqrt{A_1C_1^2+CC_1^2}=\sqrt{52+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Ответ: $$10\text{ см}$$.