Упр.31 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$, если эти прямые образуют углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ с прямой $$AB$$ и $$\alpha+\beta<90^\circ$$?

Обозначим искомый угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$ через $$x$$.

Возможны три случая.

1. Углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ — внутренние углы треугольника $$ABC$$. Тогда

   $$\angle ACB=180^\circ-\alpha-\beta.$$

   Так как $$\alpha+\beta<90^\circ$$, то $$\angle ACB>90^\circ$$, и искомый угол равен

   $$x=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-(180^\circ-\alpha-\beta)=\alpha+\beta.$$

2. Угол $$\alpha$$ — внешний, а угол $$\beta$$ — внутренний. Тогда

   $$\angle CAB=180^\circ-\alpha,$$

   $$\angle ACB=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-\beta=\alpha-\beta.$$

   Следовательно, искомый угол

   $$x=|\alpha-\beta|.$$

3. Если угол $$\beta$$ — внешний, а угол $$\alpha$$ — внутренний, то аналогично получаем

   $$x=|\beta-\alpha|=|\alpha-\beta|.$$

Итак, угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$ равен либо $$\alpha+\beta$$, либо $$|\alpha-\beta|$$.

Ответ: $$\alpha+\beta$$ или $$|\alpha-\beta|$$.