Упр.31 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно $$a$$. Отрезок длины $$b$$ своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.

Пусть отрезок $$AB=b$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. Опустим из этих точек перпендикуляры на другую плоскость: пусть $$AA_1\perp \beta$$, $$BB_1\perp \alpha$$. Тогда

$$AA_1=BB_1=a,$$

так как расстояние между параллельными плоскостями постоянно и равно $$a$$.

Проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$ — это отрезок $$A_1B$$, а на плоскость $$\beta$$ — отрезок $$AB_1$$. Эти проекции равны, поэтому достаточно найти одну из них.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $$AB=b$$ и катетом $$a$$. Тогда длина проекции равна

$$\ell=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Следовательно, проекция отрезка на каждую из плоскостей равна $$\sqrt{b^2-a^2}$$.

Ответ: $$\sqrt{b^2-a^2}$$.