Упр.31 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку A, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через точку A, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 38).

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то при пересечении их плоскостями, проходящими через прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, $$DD_1$$, получаем параллельные прямые:

$$EB \parallel E_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad CD \parallel C_1D_1,\quad DE \parallel D_1E_1.$$

По условию $$EBCD$$ — параллелограмм, значит

$$EB \parallel CD,\quad BC \parallel ED.$$

Тогда из уже полученных параллельностей следует:

$$E_1B_1 \parallel C_1D_1,\quad B_1C_1 \parallel D_1E_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$E_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны, значит $$E_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

Ответ

$$E_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.