Упр.31 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку $$A$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную $$\alpha$$ и не проходящую через точку $$A$$, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 38).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны. Прямые $$EE_1,\, BB_1,\, CC_1,\, DD_1$$ проходят через точку $$A$$ и пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$E,\, B,\, C,\, D$$, а плоскость $$\beta$$ — в точках $$E_1,\, B_1,\, C_1,\, D_1$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то при пересечении их одной и той же плоскостью соответствующие линии пересечения параллельны. Поэтому из параллельности прямых, лежащих в плоскости $$\alpha$$, получаем:

$$EB \parallel E_1B_1,\qquad BC \parallel B_1C_1,\qquad CD \parallel C_1D_1,\qquad DE \parallel D_1E_1.$$

Но по условию $$EBCD$$ — параллелограмм, значит

$$EB \parallel CD,\qquad BC \parallel ED.$$

Тогда с учётом уже найденных параллельностей имеем:

$$E_1B_1 \parallel C_1D_1,\qquad B_1C_1 \parallel D_1E_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$E_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны, значит $$E_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

Ответ: $$E_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.