Упр.30 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны $$d_1$$ и $$d_2$$.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$. Тогда диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, значит

$$DO=\frac{d_2}{2}, \qquad OC=\frac{d_1}{2}.$$

Найдём сторону ромба $$CD$$. В прямоугольном треугольнике $$DOC$$ имеем

$$CD=\sqrt{DO^2+OC^2}=\sqrt{\frac{d_2^2}{4}+\frac{d_1^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.$$

Теперь проведём $$AH\perp DC$$. Так как $$AB\parallel DC$$, то $$AH\perp AB$$, следовательно, $$AH$$ — искомое расстояние между сторонами ромба.

Площадь ромба можно выразить двумя способами:

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2$$

и

$$S=CD\cdot AH.$$

Тогда

$$AH=\frac{S}{CD}=\frac{\frac{1}{2}d_1d_2}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}}=\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$

Ответ: $$\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}$$.