Упр.30 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны d1 и d2.

Подробный ответ

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. Тогда диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$DO=\frac{d_2}{2}, \qquad OC=\frac{d_1}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$. По теореме Пифагора

$$DC=\sqrt{DO^2+OC^2}=\sqrt{\frac{d_2^2}{4}+\frac{d_1^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.$$

Проведём $AH \perp DC$. Так как $AB \parallel DC$, то $AH \perp AB$, значит $AH$ — искомое расстояние между сторонами ромба.

Площадь ромба можно выразить через диагонали и через сторону с высотой:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}=DC\cdot AH.$$

Тогда

$$AH=\frac{S}{DC}=\frac{\frac{d_1d_2}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}}=\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$