Упр.30 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Подробный ответ

Пусть $$R=15$$ см — радиус шара, а $$r=12$$ см — радиус основания цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OBN$$ имеем:

$$OB=R=15,\quad NB=r=12.$$

Найдём $$ON$$:

$$ON=\sqrt{OB^2-NB^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=9\text{ см}.$$

Высота цилиндра равна

$$BC=2ON=18\text{ см}.$$

Высота каждого из двух одинаковых шаровых сегментов:

$$NM=OM-ON=15-9=6\text{ см}.$$

Объём одного шарового сегмента:

$$V_1=\pi NM^2\left(R-\frac{NM}{3}\right)=\pi\cdot 6^2\left(15-\frac{6}{3}\right)=\pi\cdot 36\cdot 13=468\pi\text{ см}^3.$$

Объём цилиндрической части:

$$V_2=\pi r^2\cdot BC=\pi\cdot 12^2\cdot 18=2592\pi\text{ см}^3.$$

Тогда объём части шара, заключённой внутри цилиндра: