Упр.30 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диаметр шара, равный $$30\ \text{см}$$, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен $$12\ \text{см}$$. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Тогда искомая часть шара состоит из объёма цилиндрической части и двух одинаковых шаровых сегментов.

Радиус шара равен

$$R=\frac{30}{2}=15\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$OB=15\text{ см}$$ и катетом $$NB=12\text{ см}$$ найдём

$$ON=\sqrt{OB^2-NB^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\text{ см}.$$

Высота цилиндрической части равна

$$BC=2ON=18\text{ см},$$

а высота каждого шарового сегмента

$$NM=OM-ON=15-9=6\text{ см}.$$

Объём одного шарового сегмента:

$$V_1=\pi NM^2\left(R-\frac{NM}{3}\right) =\pi\cdot 6^2\left(15-\frac{6}{3}\right) =\pi\cdot 36\cdot 13 =468\pi\text{ см}^3.$$

Объём цилиндрической части:

$$V_2=\pi r^2h=\pi\cdot 12^2\cdot 18=2592\pi\text{ см}^3.$$

Тогда объём части шара, заключённой внутри цилиндра:

$$V=2V_1+V_2=2\cdot 468\pi+2592\pi=3528\pi\text{ см}^3.$$

Ответ: $$3528\pi\text{ см}^3.$$