Упр.30 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Подробный ответ

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной радиусу и проходящей через его середину, является кругом. Его центр лежит в основании перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Пусть $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр сечения, $$R$$ — радиус шара. Тогда, так как плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему, имеем

$$OO_1=\frac{R}{2}.$$

Для любой точки $$A$$ на окружности сечения треугольник $$OO_1A$$ прямоугольный, поэтому

$$OA=R,$$

$$O_1A=\sqrt{OA^2-OO_1^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3R^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S_{\text{сеч}}=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}R\right)^2=\frac{3}{4}\pi R^2.$$

Площадь большого круга шара:

$$S_{\text{б. круга}}=\pi R^2.$$

Следовательно, отношение площадей равно

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{б. круга}}}=\frac{\frac{3}{4}\pi R^2}{\pi R^2}=\frac{3}{4}.$$