Упр.30 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Пусть радиус шара равен $$R$$. Плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему, значит расстояние от центра шара до секущей плоскости равно $$\frac{R}{2}$$.

Сечение шара плоскостью — круг. Его радиус найдём из прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна $$R$$, а один катет равен $$\frac{R}{2}$$:

$$r=\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2}R$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{\text{сеч}}=\pi r^2=\pi\cdot \frac{3R^2}{4}$$

Площадь большого круга равна $$S_{\text{кр}}=\pi R^2$$. Поэтому

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{кр}}} = \frac{\pi\cdot \frac{3R^2}{4}}{\pi R^2} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $$\frac{3}{4}$$.