Упр.30 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

3-30. Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — любые две точки плоскости $$\alpha$$. Опустим из них перпендикуляры на плоскость $$\beta$$: $$XX’ \perp \beta$$ и $$YY’ \perp \beta$$.

Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то прямые $$XX’$$ и $$YY’$$ параллельны. Следовательно, они лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$XY$$ и $$X’Y’$$.

Из параллельности плоскостей следует, что $$XY \parallel X’Y’$$. Значит, четырёхугольник $$XX’Y’Y$$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны равны:

$$XX’=YY’.$$

Но $$XX’$$ и $$YY’$$ — это расстояния от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\beta$$. Следовательно, расстояния от любых точек плоскости $$\alpha$$ до плоскости $$\beta$$ одинаковы.