Упр.3 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объём увеличился в n раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объём увеличился в n раз?

Объём цилиндра выражается формулой $$V=\pi R^2h.$$

Если радиус основания не меняется, то $$V\propto h.$$ Тогда при увеличении объёма в $$n$$ раз высоту нужно увеличить тоже в $$n$$ раз:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^2h_2}{\pi R^2h_1}=\frac{h_2}{h_1}=n,$$

значит, $$h_2=nh_1.$$

Если высота не меняется, то $$V\propto R^2.$$ Тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R_2^2h}{\pi R_1^2h}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=n,$$

откуда

$$R_2=\sqrt{n}\,R_1.$$

Ответ: высоту нужно увеличить в $$n$$ раз, радиус основания — в $$\sqrt{n}$$ раз.