Упр.3 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Bo сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в n раз? Bo сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в n раз?

Объём цилиндра выражается формулой $$V=\pi R^2h.$$

Если основание не меняется, то $$R=\text{const}$$, значит объём прямо пропорционален высоте:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^2h_2}{\pi R^2h_1}=\frac{h_2}{h_1}.$$

Чтобы объём увеличился в $$n$$ раз, нужно, чтобы

$$\frac{V_2}{V_1}=n,$$

откуда

$$h_2=nh_1.$$

Значит, высоту надо увеличить в $$n$$ раз.

Если высота не меняется, то $$h=\text{const}$$, и объём зависит от квадрата радиуса:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R_2^2h}{\pi R_1^2h}=\frac{R_2^2}{R_1^2}.$$

Требуемое увеличение объёма в $$n$$ раз даёт

$$\frac{R_2^2}{R_1^2}=n,$$

следовательно,

$$R_2=\sqrt{n}\,R_1.$$

Значит, радиус основания надо увеличить в $$\sqrt{n}$$ раз.

Ответ

Высоту — в $$n$$ раз, радиус основания — в $$\sqrt{n}$$ раз.