Упр.3 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: У трехгранного угла один плоский угол равен у, а прилежащие к нему двугранные углы равны ф(ф < 90°). Найдите два других плоских угла а и угол В, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром.

Подробный ответ

Пусть из вершины трёхгранного угла опущен перпендикуляр $$SA$$ на плоскость угла $$\gamma$$, а на его стороны — перпендикуляры $$SB$$ и $$SC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$AB \perp OB,\qquad AC \perp OC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SBA$$ и $$SCA$$. В них

$$\angle SBA=\angle SCA=\varphi,$$

а $$SA$$ — общий катет. Значит, эти треугольники равны, откуда

$$AB=AC.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. У них общий катет $$AO$$ и равные гипотенузы $$AB=AC$$, значит, треугольники равны. Следовательно,

$$\angle AOC=\angle AOB.$$

Так как

$$\angle COB=\angle AOC+\angle AOB=\gamma,$$

то

$$\angle AOC=\angle AOB=\frac{\gamma}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ASC$$ получаем

$$SC=\frac{AS}{\sin\varphi},\qquad AC=\frac{AS}{\tg\varphi}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ACO$$:

$$OA=\frac{AC}{\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{AS}{\tg\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}},$$

$$OC=\frac{AC}{\tg\frac{\gamma}{2}}=\frac{AS}{\tg\varphi\cdot \tg\frac{\gamma}{2}}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$SDC$$

$$\tg\alpha=\frac{SC}{OC}=\frac{\frac{AS}{\sin\varphi}}{\frac{AS}{\tg\varphi\cdot \tg\frac{\gamma}{2}}} =\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi}.$$