Упр.3 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- У трёхгранного угла один плоский угол равен $$у$$, а прилежащие к нему двугранные углы равны $$ф$$ ($$ф<90^\circ$$). Найдите два других плоских угла $$а$$ и угол $$В$$, который образует плоскость угла $$у$$ с противолежащим ребром.
Пусть $$S$$ — вершина трёхгранного угла, а его рёбра пересекают плоскость плоского угла $$\gamma$$ в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SA$$ на плоскость угла $$\gamma$$, а также перпендикуляры $$SB$$ и $$SC$$ на его стороны.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$AB\perp OB,\qquad AC\perp OC.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SBA$$ и $$SCA$$. В них
$$\angle SBA=\angle SCA=\varphi,\qquad SA\text{ — общий катет}.$$
Следовательно, $$AB=AC$$.
Тогда прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по гипотенузе и катету, значит
$$\angle AOB=\angle AOC.$$
Но
$$\angle COB=\angle AOC+\angle AOB=\gamma,$$
откуда
$$\angle AOC=\angle AOB=\frac{\gamma}{2}.$$
Теперь найдём $$\alpha$$. В прямоугольном треугольнике $$ASC$$
$$\sin\varphi=\frac{SA}{SC},\qquad \cos\varphi=\frac{AC}{SC},$$
поэтому
$$SC=\frac{SA}{\sin\varphi},\qquad AC=\frac{SA\cos\varphi}{\sin\varphi}=SA\ctg\varphi.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOC$$
$$\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{AC}{OA},\qquad OA=\frac{AC}{\tg\frac{\gamma}{2}}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOC$$
$$\tg\alpha=\frac{SC}{OC}.$$
Подставляя найденные выражения, получаем
$$\tg\alpha=\frac{SA/\sin\varphi}{\,AC/\tg\frac{\gamma}{2}\,}=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi}.$$
Аналогично для угла $$\beta$$ в прямоугольном треугольнике $$SAO$$:
$$\tg\beta=\frac{SA}{OA}=\frac{SA}{AC/\tg\frac{\gamma}{2}}=\ctg\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
Итак,
$$\tg\alpha=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi},\qquad \tg\beta=\ctg\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
Ответ
$$\tg\alpha=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi},\qquad \tg\beta=\ctg\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
