Упр.3 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: a и b-параллельные прямые;
Доказать: Множество прямых, пересекающих a и b лежат в одной
плоскости;
Доказательство:
1) Прямые a и b параллельны, значит они лежат в одной плоскости,
обозначим ее;
2) Пусть прямая c пересекает прямые a и b в точках A и B, тогда
прямая c имеет с плоскостью две общие точки, значит по теореме 1.2
прямая принадлежит плоскости;
3) Таким образом, все прямые, пересекающие a и b лежат в одной
плоскости, что и требовалось доказать.

Так как $$a \parallel b$$, то параллельные прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость через $$\alpha$$.

Пусть прямая $$c$$ пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, значит прямая $$c$$ имеет с плоскостью $$\alpha$$ две общие точки.

По теореме о прямой, имеющей с плоскостью две общие точки, получаем, что $$c \subset \alpha$$.

Следовательно, любая прямая, пересекающая $$a$$ и $$b$$, лежит в одной и той же плоскости $$\alpha$$. Что и требовалось доказать.