Упр.3 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) а = 34, b = 12, а = 164°; 2) а = 2, b = 4, а = 60°; 3) а = 6, b = 8, а = 30°.
Решим задачу по теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$
1) $$a=34,\; b=12,\; \alpha=164^\circ.$$
Тогда
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{12\sin 164^\circ}{34}\approx 0{,}0972,$$
откуда
$$\beta \approx 6^\circ.$$
Третий угол:
$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-164^\circ-6^\circ\approx 10^\circ.$$
Найдём третью сторону:
$$c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}=\frac{34\sin 10^\circ}{\sin 164^\circ}\approx \frac{34\cdot 0{,}173}{0{,}275}\approx 21{,}3.$$
2) $$a=2,\; b=4,\; \alpha=60^\circ.$$
Тогда
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{4\sin 60^\circ}{2}\approx 1{,}732.$$
Так как значение синуса не может быть больше $$1,$$ такого угла $$\beta$$ не существует. Следовательно, задача не имеет решения.
3) $$a=6,\; b=8,\; \alpha=30^\circ.$$
Тогда
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{8\sin 30^\circ}{6}=\frac{8\cdot 0{,}5}{6}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667.$$
Отсюда возможны два значения угла:
$$\beta_1\approx 42^\circ,\qquad \beta_2\approx 138^\circ.$$
Тогда
$$\gamma_1=180^\circ-30^\circ-42^\circ=108^\circ,$$
$$\gamma_2=180^\circ-30^\circ-138^\circ=12^\circ.$$
Найдём третью сторону в каждом случае:
$$c_1=\frac{a\sin \gamma_1}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 108^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}951}{0{,}5}\approx 11{,}4,$$
$$c_2=\frac{a\sin \gamma_2}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 12^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}207}{0{,}5}\approx 2{,}49.$$
Ответ
1) $$c\approx 21{,}3,\; \beta\approx 6^\circ,\; \gamma\approx 10^\circ.$$
2) Решения нет.
3) $$c_1\approx 11{,}4,\; c_2\approx 2{,}49,\; \beta_1\approx 42^\circ,\; \beta_2\approx 138^\circ,\; \gamma_1\approx 108^\circ,\; \gamma_2\approx 12^\circ.$$