Упр.3 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если:
- а) $$a=34$$, $$b=12$$, $$\alpha=164^\circ$$;
б) $$a=2$$, $$b=4$$, $$\alpha=60^\circ$$;
в) $$a=6$$, $$b=8$$, $$\alpha=30^\circ$$.
1) $$a=34,\; b=12,\; \alpha=164^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$
Тогда
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{12\sin 164^\circ}{34}\approx 0{,}0972,$$
откуда $$\beta \approx 6^\circ.$$
Далее
$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-164^\circ-6^\circ\approx 10^\circ.$$
Найдём третью сторону:
$$c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}=\frac{34\sin 10^\circ}{\sin 164^\circ}\approx \frac{34\cdot 0{,}173}{0{,}275}\approx 21{,}3.$$
2) $$a=2,\; b=4,\; \alpha=60^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{4\sin 60^\circ}{2}=1{,}732.$$
Такого значения синуса не бывает, значит, треугольник с такими данными не существует.
3) $$a=6,\; b=8,\; \alpha=30^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{8\sin 30^\circ}{6}=\frac{8\cdot 0{,}5}{6}\approx 0{,}667.$$
Следовательно, возможны два значения угла:
$$\beta_1\approx 42^\circ,\qquad \beta_2\approx 138^\circ.$$
Тогда
$$\gamma_1=180^\circ-30^\circ-42^\circ=108^\circ,$$
$$\gamma_2=180^\circ-30^\circ-138^\circ=12^\circ.$$
Найдём соответствующие значения третьей стороны:
$$c_1=\frac{a\sin \gamma_1}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 108^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}951}{0{,}5}\approx 11{,}4,$$
$$c_2=\frac{a\sin \gamma_2}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 12^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}207}{0{,}5}\approx 2{,}49.$$
Ответ
1) $$c\approx 21{,}3,\; \beta\approx 6^\circ,\; \gamma\approx 10^\circ.$$
2) Решения нет.
3) $$\beta_1\approx 42^\circ,\; \beta_2\approx 138^\circ,\; \gamma_1\approx 108^\circ,\; \gamma_2\approx 12^\circ,\; c_1\approx 11{,}4,\; c_2\approx 2{,}49.$$
