Упр.29 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2а и 2b. Докажите, что r2 = ab
Так как около трапеции можно описать окружность, то в четырёхугольнике $$ABCD$$ суммы противоположных сторон равны:
$$AB+CD=AD+BC.$$
Поскольку трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Тогда
$$2AB=2a+2b,$$
откуда
$$AB=a+b.$$
Проведём высоту $$BH$$. Тогда $$\triangle ABH$$ — прямоугольный. Из рисунка и обозначений получаем:
$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{2a-2b}{2}=a-b,$$
а расстояние между основаниями трапеции равно диаметру вписанной окружности, значит
$$BH=2r.$$
По теореме Пифагора для треугольника $$ABH$$:
$$AB^2=AH^2+BH^2,$$
то есть
$$ (a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2+2ab+b^2=a^2-2ab+b^2+4r^2.$$
Следовательно,
$$4ab=4r^2,$$
откуда
$$r^2=ab.$$
Ответ
$$r^2=ab$$