Упр.29 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Около окружности радиуса $$r$$ описана равнобокая трапеция с основаниями $$2a$$ и $$2b$$. Докажите, что $$r^2=ab$$.

Так как около трапеции можно описать окружность радиуса $$r$$, то трапеция является касательной четырёхугольником. Для него сумма противоположных сторон равна:

$$AB+CD=AD+BC.$$

Поскольку трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Тогда

$$2AB=2a+2b,$$

откуда

$$AB=a+b.$$

Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$\triangle ABH$$ прямоугольный, а так как окружность касается обоих оснований трапеции, расстояние между основаниями равно диаметру окружности, то

$$BH=2r.$$

В равнобокой трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{2a-2b}{2}=a-b.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Подставим найденные значения:

$$(a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2$$

$$a^2+2ab+b^2=a^2-2ab+b^2+4r^2$$

$$4ab=4r^2$$

$$r^2=ab.$$

Ответ: $$r^2=ab$$.