Упр.29 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
Рассмотрим диаметральное сечение, проходящее через центры обоих шаров. В сечении получаются две равные окружности радиуса $$R$$, причём центр каждой окружности лежит на другой окружности. Значит, расстояние между центрами равно $$R$$.
Общая часть шаров в этом сечении соответствует общей части двух равных кругов и состоит из двух одинаковых шаровых сегментов. Высота каждого сегмента равна
$$h=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}.$$
Объём одного шарового сегмента радиуса основания $$r=\frac{R}{2}$$ и высоты $$h=\frac{R}{2}$$ равен
$$V_1=\pi r^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\left(R-\frac{R}{6}\right)=\pi\cdot\frac{R^2}{4}\cdot\frac{5R}{6}=\frac{5\pi R^3}{24}.$$
Тогда объём общей части шаров:
$$V_{\text{общ}}=2V_1=2\cdot\frac{5\pi R^3}{24}=\frac{5\pi R^3}{12}.$$
Объём целого шара:
$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$
Искомое отношение:
$$\frac{V_{\text{общ}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{5}{16}.$$
Ответ: $$5:16$$.
