Упр.29 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 7-29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна $$4\ \text{см}^2$$, а площади боковых граней — $$9\ \text{см}^2$$, $$10\ \text{см}^2$$ и $$17\ \text{см}^2$$. Найдите объем призмы.
Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, поэтому их площади равны произведениям сторон основания на высоту призмы. Обозначим стороны основания через $$a$$, $$b$$, $$c$$, а высоту призмы через $$h$$. Тогда
$$ah=9,\quad bh=10,\quad ch=17.$$
Следовательно,
$$a=\frac{9}{h},\quad b=\frac{10}{h},\quad c=\frac{17}{h}.$$
Полупериметр основания равен
$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{h}+\frac{10}{h}+\frac{17}{h}\right)=\frac{18}{h}.$$
Площадь основания треугольника по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
Подставим найденные выражения:
$$4=\sqrt{\frac{18}{h}\cdot\frac{9}{h}\cdot\frac{8}{h}\cdot\frac{1}{h}}=\sqrt{\frac{1296}{h^4}}=\frac{36}{h^2}.$$
Отсюда
$$h^2=9,\quad h=3\text{ см}.$$
Тогда объём призмы:
$$V=Sh=4\cdot 3=12\text{ см}^3.$$
Ответ: $$12\text{ см}^3$$.
