Упр.29 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем призмы.

Обозначим стороны основания прямой треугольной призмы через $$a$$, $$b$$ и $$c$$, а высоту призмы — через $$h$$.

Так как боковые грани прямой призмы — прямоугольники, то их площади равны:

$$ah=9,\quad bh=10,\quad ch=17.$$

Отсюда

$$a=\frac{9}{h},\quad b=\frac{10}{h},\quad c=\frac{17}{h}.$$

Полупериметр основания:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{h}+\frac{10}{h}+\frac{17}{h}\right)=\frac{18}{h}.$$

Площадь основания равна $$4\text{ см}^2$$. По формуле Герона:

$$4=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Подставим найденные выражения:

$$4=\sqrt{\frac{18}{h}\left(\frac{18}{h}-\frac{9}{h}\right)\left(\frac{18}{h}-\frac{10}{h}\right)\left(\frac{18}{h}-\frac{17}{h}\right)}$$

$$4=\sqrt{\frac{18}{h}\cdot\frac{9}{h}\cdot\frac{8}{h}\cdot\frac{1}{h}}=\sqrt{\frac{1296}{h^4}}=\frac{36}{h^2}.$$

Тогда

$$\frac{36}{h^2}=4,\quad h^2=9,\quad h=3\text{ см}.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=Sh=4\cdot 3=12\text{ см}^3.$$

Ответ

$$12\text{ см}^3$$