Упр.29 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках A, B, C, а параллельную ей плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 гомотетичны.

Подробный ответ

Так как прямые $$AS$$, $$BS$$ и $$CS$$ пересекаются в точке $$S$$, то через каждую пару из них можно провести плоскость. Эти плоскости пересекают две параллельные плоскости по параллельным прямым, поэтому

$$AB \parallel A_1B_1,\quad AC \parallel A_1C_1,\quad BC \parallel B_1C_1.$$

Рассмотрим треугольники $$SAC$$ и $$SA_1C_1$$. У них

$$\angle SAC = \angle SA_1C_1,\qquad \angle SCA = \angle SC_1A_1,$$

как соответственные углы при параллельных прямых. Значит,

$$\triangle SAC \sim \triangle SA_1C_1.$$

Аналогично получаем

$$\triangle SAB \sim \triangle SA_1B_1,\qquad \triangle SBC \sim \triangle SB_1C_1.$$

Из подобия этих треугольников следует, что

$$\frac{SA}{SA_1}=\frac{SC}{SC_1}=\frac{SB}{SB_1}=k,$$

то есть точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат на лучах $$SA$$, $$SB$$, $$SC$$ и отстоят от точки $$S$$ в одном и том же отношении к соответствующим точкам $$A$$, $$B$$, $$C$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ получаются друг из друга гомотетией с центром в точке $$S$$ и коэффициентом $$k$$. Значит, они гомотетичны.