Упр.29 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Три прямые, проходящие через точку $$S$$, пересекают данную плоскость в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$, а параллельную ей плоскость — в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$. Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ гомотетичны.

Подробный ответ

Рассмотрим прямые $$AS$$, $$BS$$ и $$CS$$. Они пересекают две параллельные плоскости, значит, отрезки, соединяющие точки пересечения на этих плоскостях, параллельны:

$$AB \parallel A_1B_1,\quad AC \parallel A_1C_1,\quad BC \parallel B_1C_1.$$

Тогда

$$\angle SAC=\angle SA_1C_1,\qquad \angle SCA=\angle SC_1A_1,$$

так как это соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно,

$$\triangle SAC \sim \triangle SA_1C_1.$$

Аналогично получаем:

$$\triangle SAB \sim \triangle SA_1B_1,\qquad \triangle SBC \sim \triangle SB_1C_1.$$

Из подобия этих треугольников имеем

$$\frac{SA}{SA_1}=\frac{SC}{SC_1}=\frac{SB}{SB_1}=k,$$

где $$k$$ — одно и то же число для всех трёх прямых.

Значит, точки $$A_1, B_1, C_1$$ получаются из точек $$A, B, C$$ гомотетией с центром в точке $$S$$ и коэффициентом $$k$$. Поэтому треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ гомотетичны.