Упр.28 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом $$12\ \text{дм}$$. Точка касания делит её боковую сторону в отношении $$9:4$$. Найдите площадь трапеции.
Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$M$$, причём $$AM:MB=9:4$$. Обозначим $$AM=9x$$, $$MB=4x$$. Тогда
$$AB=AM+MB=13x.$$
Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+AD.$$
Из равенства касательных, проведённых из одной точки, получаем $$BK=BM=4x$$. Тогда
$$BC=2BK=8x.$$
Следовательно,
$$AD=AB+CD-BC=26x-8x=18x.$$
Проведём высоту $$BH$$. Тогда
$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{18x-8x}{2}=5x.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=\sqrt{169x^2-25x^2}=12x.$$
Так как окружность касается обеих оснований трапеции, то $$BH=2r$$. При $$r=12$$ дм имеем
$$BH=24,$$
значит
$$12x=24,\quad x=2.$$
Теперь найдём основания:
$$AB=13x=26,\qquad BC=8x=16,\qquad AD=18x=36.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot BH=\frac{26+36}{2}\cdot 24=31\cdot 24=744.$$
Ответ: $$744\ \text{дм}^2$$.
