Упр.28 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны $$4\ \text{см}$$, $$5\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объём призмы.

Площадь основания найдём по формуле Герона. Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{4+5+7}{2}=8$$

Тогда

$$S=\sqrt{p(p-4)(p-5)(p-7)}=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=4\sqrt{6}\ \text{см}^2.$$

Боковое ребро призмы равно большей высоте основания. В треугольнике со сторонами $$4$$, $$5$$ и $$7$$ большая высота опущена к меньшей стороне, то есть к стороне $$4$$. Тогда

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot h,$$

откуда

$$h=\frac{2S}{4}=\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}\ \text{см}.$$

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро:

$$V=Sh=4\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}=8\cdot 6=48\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$48\ \text{см}^3$$.