Упр.28 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Найдём площадь основания треугольника со сторонами $$4$$ см, $$5$$ см и $$7$$ см по формуле Герона:

$$ p=\frac{4+5+7}{2}=\frac{16}{2}=8 $$
$$ S=\sqrt{p(p-4)(p-5)(p-7)}=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=4\sqrt{6}\ \text{см}^2 $$

Боковое ребро призмы равно большей высоте основания. В треугольнике с наибольшей стороной $$7$$ см большая высота опущена к меньшей стороне $$4$$ см, поэтому

$$ S=\frac{1}{2}ah $$
$$ 4\sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h $$
$$ h=\frac{2S}{4}=\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}\ \text{см} $$

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$ V=Sh=4\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}=8\cdot 6=48\ \text{см}^3 $$