Упр.28 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Дано: Полушар и вписанный в него конус; основание и высота общие;
сечение, параллельное основанию проходит через середину высоты;
Доказать: Площадь сечения, заключенного между боковой поверх-
ностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади
основания;
Доказательство:
1) Опустим перпендикуляр SO на основание конуса (и соответственно
полушара);
2) Рассмотрим осевое сечение конуса ABS;
3) Сечение, параллельное основанию пересечет его по прямой MN,
параллельной AB;
Обозначим центр основания полушара и конуса через $$O$$, вершину конуса — через $$S$$, а радиус основания — через $$R$$. Тогда $$SO$$ — общая высота полушара и конуса.
Проведём осевое сечение конуса $$ABS$$. Оно является равнобедренным треугольником, а сечение плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, пересекает это сечение по отрезку $$MN$$, параллельному $$AB$$.
Пусть $$O_1$$ — точка пересечения плоскости с осью $$SO$$. По условию $$SO_1=\frac12 SO$$. Тогда из подобия треугольников $$\triangle SO_1N$$ и $$\triangle SOB$$ получаем:
$$\frac{SO_1}{SO}=\frac{O_1N}{OB}.$$
Так как $$SO_1=\frac12 SO$$ и $$OB=R$$, то
$$O_1N=\frac12\,OB=\frac12 R.$$
Рассмотрим теперь сечение полушара. В плоскости сечения оно ограничено дугой окружности радиуса $$R$$ и хордой $$MN$$. Его площадь равна площади соответствующего кругового сегмента, то есть разности площадей сектора и треугольника. Удобнее вычислить её как разность площадей двух кругов с центром в $$O_1$$:
$$S=\pi O_1E^2-\pi O_1N^2,$$
где $$O_1E$$ — радиус окружности сечения полушара. В прямоугольном треугольнике $$OO_1E$$ имеем:
$$O_1E=\sqrt{OE^2-OO_1^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac12R\right)^2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$S=\pi\left(\frac{R\sqrt3}{2}\right)^2-\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2 =\pi\cdot\frac{3R^2}{4}-\pi\cdot\frac{R^2}{4} =\frac{\pi R^2}{2}.$$
Площадь основания равна $$\pi R^2$$, значит
$$S=\frac12\pi R^2.$$
Следовательно, площадь сечения, заключённого между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.
Ответ
$$\frac12\pi R^2$$