Упр.28 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключённого между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 160).
Пусть $$O$$ — центр основания полушара и конуса, $$S$$ — их общая вершина, $$SO$$ — высота, $$R$$ — радиус основания. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию; она пересекает ось $$SO$$ в точке $$O_1$$, причём $$SO_1=\frac12 SO$$.
Рассмотрим осевое сечение конуса $$ABS$$. Тогда сечение плоскостью, параллельной основанию, пересекает его по отрезку $$MN$$, причём $$MN \parallel AB$$. Обозначим через $$N$$ точку пересечения этой прямой с образующей конуса, а через $$E$$ — точку пересечения той же плоскости с поверхностью полушара.
Из подобия прямоугольных треугольников $$\triangle SO_1N$$ и $$\triangle SOB$$ получаем:
$$\frac{SO_1}{SO}=\frac{O_1N}{OB}.$$
Так как $$SO_1=\frac12 SO$$, то
$$O_1N=\frac12\,OB=\frac12 R.$$
В прямоугольном треугольнике $$\triangle O_1OE$$ имеем
$$O_1E=\sqrt{OE^2-O_1O^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac12R\right)^2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$
Искомая площадь сечения равна разности площадей двух кругов радиусов $$O_1E$$ и $$O_1N$$:
$$S=\pi O_1E^2-\pi O_1N^2 =\pi\cdot\frac{3R^2}{4}-\pi\cdot\frac{R^2}{4} =\frac{\pi R^2}{2}.$$
Но $$\pi R^2$$ — это площадь основания, значит
$$S=\frac12\pi R^2.$$
Следовательно, площадь сечения, заключённого между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.
Ответ: $$\frac12\pi R^2$$.
