Упр.28 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым рёбрам.

Все грани параллелепипеда — параллелограммы, значит основания $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны и параллельны. Точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований, то есть точки пересечения диагоналей этих параллелограммов.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$OC=\frac12 AC,\qquad O_1C_1=\frac12 A_1C_1.$$

Так как основания параллелепипеда равны, то $$AC=A_1C_1$$, следовательно,

$$OC=O_1C_1.$$

Кроме того, в параллелепипеде соответствующие стороны параллельных оснований параллельны, значит $$OC \parallel O_1C_1$$. Тогда четырёхугольник $$OO_1C_1C$$ — параллелограмм, откуда

$$OO_1 \parallel CC_1.$$

Аналогично получаем

$$OO_1 \parallel AA_1,\qquad OO_1 \parallel BB_1,\qquad OO_1 \parallel DD_1.$$

Следовательно, отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен его боковым рёбрам.