Упр.28 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.

Подробный ответ

Пусть $$S$$ — центр гомотетии, а точки $$A, B, C$$ переходят в точки $$A’, B’, C’$$.

По определению гомотетии точки $$S, A, A’$$ лежат на одной прямой, точки $$S, B, B’$$ — на одной прямой, точки $$S, C, C’$$ — на одной прямой, причём

$$\frac{SA}{SA’}=\frac{SB}{SB’}=\frac{SC}{SC’}=k.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SA’B’$$. У них угол при вершине $$S$$ общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны:

$$\frac{SA}{SA’}=\frac{SB}{SB’}=k.$$

Следовательно, $$\triangle SAB \sim \triangle SA’B’$$, откуда

$$\frac{AB}{A’B’}=\frac{SA}{SA’}=k,$$

то есть

$$\frac{AB}{A’B’}=k.$$

Аналогично получаем:

$$\frac{BC}{B’C’}=k,\qquad \frac{AC}{A’C’}=k.$$

Значит, соответствующие стороны треугольников $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ пропорциональны:

$$\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}=k.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$$, а значит, преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.