Упр.28 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.

Пусть $$S$$ — центр гомотетии, а точки $$A, B, C$$ переходят в точки $$A’, B’, C’$$.

Тогда по определению гомотетии

$$\frac{SA}{SA’}=\frac{SB}{SB’}=\frac{SC}{SC’}=k,$$

и углы между соответствующими лучами сохраняются, значит

$$\angle ASB=\angle A’SB’,$$

следовательно, треугольники $$\triangle ASB$$ и $$\triangle A’SB’$$ подобны. Отсюда

$$\frac{AB}{A’B’}=\frac{SA}{SA’}=k.$$

Аналогично получаем

$$\frac{BC}{B’C’}=\frac{SB}{SB’}=k,$$

$$\frac{AC}{A’C’}=\frac{SC}{SC’}=k.$$

Таким образом, для всех соответствующих отрезков отношение длин постоянно и равно одному и тому же числу $$k$$:

$$\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}=k.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ подобны, а следовательно, преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.