Упр.28 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии $$4\ \text{м}$$ от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны $$8\ \text{м}$$ и $$2\ \text{м}$$. Найдите проекции сторон.

Пусть $$\alpha$$ — данная плоскость. Проведём перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ к плоскости $$\alpha$$. Так как расстояние от стороны $$BC$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$4$$ м, то

$$BB_1=CC_1=4\text{ м}.$$

Проекции диагоналей ромба на плоскость равны $$8$$ м и $$2$$ м, значит

$$AC_1=8\text{ м}, \qquad B_1D=2\text{ м}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $$\triangle CC_1A$$ и $$\triangle BB_1D$$ получаем:

$$AC=\sqrt{CC_1^2+AC_1^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80},$$

$$BD=\sqrt{BB_1^2+B_1D^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда

$$OC=\frac12 AC=\frac12\sqrt{80}=\sqrt{20}, \qquad OD=\frac12 BD=\frac12\sqrt{20}=\sqrt{5}.$$

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $$\triangle OCD$$ прямоугольный, и

$$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{20+5}=\sqrt{25}=5\text{ м}.$$

Следовательно, $$BC=AD=5$$ м. Так как $$BC \parallel \alpha$$, то его проекция на плоскость равна самой стороне:

$$B_1C_1=BC=5\text{ м}.$$

Теперь найдём проекцию стороны $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$\triangle AB_1B$$:

$$AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ м}.$$

Так как в ромбе $$AB=CD$$, то проекция стороны $$CD$$ на плоскость также равна $$3$$ м.

Ответ: $$5\text{ м},\ 3\text{ м}.$$