Упр.28 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.

Пусть $$B_1$$ и $$C_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$C$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда, так как расстояние от стороны $$BC$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$4$$ м, имеем

$$BB_1=CC_1=4.$$

Проекции диагоналей на плоскость равны $$8$$ м и $$2$$ м, значит

$$AC_1=8,\qquad B_1D=2.$$

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $$\triangle CC_1A$$ и $$\triangle BB_1D$$:

$$ AC=\sqrt{CC_1^2+AC_1^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}, $$
$$ BD=\sqrt{BB_1^2+B_1D^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}. $$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда диагонали ромба делятся пополам:

$$ OC=\frac12 AC=\frac12\sqrt{80}=\sqrt{20},\qquad OD=\frac12 BD=\frac12\sqrt{20}=\sqrt{5}. $$

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $$\triangle OCD$$ — прямоугольный. Следовательно, сторона ромба

$$ CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{20+5}=\sqrt{25}=5. $$

Поскольку $$BC \parallel \alpha$$, проекция стороны $$BC$$ на плоскость равна $$B_1C_1=BC=5$$.

Теперь найдём проекцию стороны $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$\triangle AB_1B$$:

$$ AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3. $$

Так как все стороны ромба равны, то проекции противоположных сторон равны, значит проекции сторон ромба равны $$5$$ м и $$3$$ м.

Ответ

$$5\text{ м},\ 3\text{ м}.$$