Упр.28 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершины параллелограмма $$ABCD$$, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках $$A_1, B_1, C_1, D_1$$. Докажите, что четырехугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ тоже параллелограмм.

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, $$ABCD$$ — параллелограмм в плоскости $$\alpha$$, а прямые $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1,\,DD_1$$ параллельны и пересекают плоскость $$\beta$$ в точках $$A_1,\,B_1,\,C_1,\,D_1$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Она пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Поэтому

$$AB \parallel A_1B_1.$$

Кроме того, четырёхугольник $$ABB_1A_1$$ — параллелограмм, так как $$AB \parallel A_1B_1$$ и $$AA_1 \parallel BB_1$$. Значит,

$$A_1B_1=AB.$$

Аналогично, из параллельности прямых $$CC_1$$ и $$DD_1$$ получаем

$$CD \parallel C_1D_1,\qquad C_1D_1=CD.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то

$$AB \parallel CD,\qquad AB=CD.$$

Следовательно,

$$A_1B_1 \parallel C_1D_1$$

и

$$A_1B_1=C_1D_1.$$

Значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ является параллелограммом.

Ответ: $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.