Упр.28 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 тоже параллелограмм.

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, $$ABCD$$ — параллелограмм в плоскости $$\alpha$$, а прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ и $$DD_1$$ параллельны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Она пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$AB$$ и $$A_1B_1$$. По свойству параллельных плоскостей получаем:

$$AB \parallel A_1B_1.$$

Так как $$AB \parallel A_1B_1$$ и $$AA_1 \parallel BB_1$$, то четырёхугольник $$ABB_1A_1$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$A_1B_1 = AB.$$

Аналогично, из параллельности прямых $$CC_1$$ и $$DD_1$$ получаем, что четырёхугольник $$CDD_1C_1$$ — параллелограмм, значит

$$C_1D_1 = CD.$$

Но в параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, поэтому

$$AB = CD.$$

Отсюда

$$A_1B_1 = C_1D_1.$$

Кроме того, по тому же свойству параллельных плоскостей, применённому к прямым $$BB_1$$ и $$CC_1$$, имеем

$$B_1C_1 \parallel A_1D_1.$$

Итак, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ противоположные стороны попарно параллельны и равны, значит этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ

$$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.