Упр.27 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?
Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$BC \parallel AD$$.
Тогда суммы односторонних углов при секущей равны $$180^\circ$$, то есть
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны $$180^\circ$$. Для трапеции это означает, что должно выполняться
$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$
Если трапеция равнобокая, то её углы при каждом основании равны:
$$\angle A=\angle D.$$
Тогда из равенства $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ получаем
$$\angle D+\angle B=180^\circ,$$
следовательно, около трапеции $$ABCD$$ можно описать окружность.
Обратно, пусть около трапеции $$ABCD$$ можно описать окружность. Тогда
$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$
Но из свойства трапеции также имеем
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Сравнивая эти равенства, получаем
$$\angle A=\angle D.$$
Значит, трапеция равнобокая.
Итак, около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобокая.
Ответ: да, верно; около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
