Упр.27 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 6-27. В конусе даны радиус основания $$R$$ и высота $$H$$. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.

Пусть $$a$$ — ребро призмы.

Так как призма правильная и все её боковые грани — квадраты, то высота призмы равна ребру основания, то есть $$SO_1=a$$, а верхнее основание лежит на расстоянии $$H-a$$ от вершины конуса.

Основание призмы — равносторонний треугольник, вписанный в окружность основания конуса радиуса $$R$$. Поэтому радиус описанной окружности треугольника равен $$R$$, а его сторона выражается формулой

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{?}$$

Удобнее рассмотреть подобие треугольников, образованных осью конуса и соответствующими радиусами. Для верхнего и нижнего оснований призмы получаем

$$\frac{OA}{O_1D}=\frac{SO}{SO_1}$$

где $$OA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$ — радиус описанной окружности равностороннего треугольника, $$O_1D=R$$, $$SO=H-a$$, $$SO_1=H$$. Тогда

$$\frac{a\sqrt{3}}{3R}=\frac{H-a}{H}$$

Отсюда

$$aH\sqrt{3}=3RH-3Ra$$

$$a(3R+H\sqrt{3})=3RH$$

$$a=\frac{3RH}{3R+H\sqrt{3}}$$

Ответ: $$\frac{3RH}{3R+H\sqrt{3}}$$.