Упр.27 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-27. Известны углы, образуемые рёбрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между рёбрами, сходящимися в любой другой вершине?
Пусть при вершине $$A$$ углы между рёбрами параллелепипеда равны $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$:
$$\angle A_1AD=\alpha,\qquad \angle A_1AB=\beta,\qquad \angle BAD=\gamma.$$
Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то противоположные грани равны, а соответствующие углы при параллельных рёбрах равны. Поэтому при любой другой вершине углы между рёбрами будут такими же:
$$\angle D_1A_1B_1=\angle B_1C_1D_1=\angle BCD=\angle BAD=\gamma,$$
$$\angle CDD_1=\angle CC_1D_1=\angle BB_1A_1=\angle BAA_1=\beta,$$
$$\angle CBB_1=\angle CC_1B_1=\angle A_1D_1D=\angle A_1AD=\alpha.$$
Кроме того, смежные углы при вершинах граней дополняют друг друга до $$180^\circ$$:
$$\angle AA_1D_1=\angle D_1DA=\angle C_1CB=\angle BB_1C_1=180^\circ-\alpha,$$
$$\angle AA_1B_1=\angle ABB_1=\angle DD_1C_1=\angle C_1CD=180^\circ-\beta,$$
$$\angle ABC=\angle ADC=\angle A_1B_1C_1=\angle C_1D_1A_1=180^\circ-\gamma.$$
Следовательно, углы между рёбрами, сходящимися в любой другой вершине параллелепипеда, равны соответствующим углам при вершине $$A$$: $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$, а смежные с ними углы равны $$180^\circ-\alpha$$, $$180^\circ-\beta$$ и $$180^\circ-\gamma$$.
