Упр.27 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-27. Через вершину прямого угла $$C$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии $$1\ \text{м}$$ от неё. Проекции катетов на эту плоскость равны $$3\ \text{м}$$ и $$5\ \text{м}$$. Найдите гипотенузу.

Пусть $$A_1$$ и $$B_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Так как расстояние от гипотенузы $$AB$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$1$$ м, то

$$AA_1=BB_1=1.$$

Проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$ равны соответственно $$A_1C=3$$ м и $$B_1C=5$$ м.

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $$AA_1C$$ и $$BB_1C$$ получаем:

$$CA^2=AA_1^2+A_1C^2=1^2+3^2=10,$$
$$CB^2=BB_1^2+B_1C^2=1^2+5^2=26.$$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому

$$AB^2=CA^2+CB^2=10+26=36,$$
$$AB=\sqrt{36}=6.$$

Ответ: $$6$$ м.