Упр.26 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B конусе даны радиус основания R высота H. Найдите ребро вписанного него куба (рис. 159).

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса $$ASD$$. Оно является равнобедренным, так как $$SA=SD$$ — образующие конуса. В это сечение вписан прямоугольник $$BCC_1B_1$$, являющийся диагональным сечением куба.

Пусть $$a$$ — ребро куба. Тогда $$BB_1=a$$, а диагональ грани куба равна $$BC=a\sqrt{2}$$.

Так как $$B_1C_1 \parallel AD$$, то треугольники $$\triangle ASD$$ и $$\triangle B_1C_1S$$ подобны. Поэтому

$$ \frac{B_1C_1}{AD}=\frac{SO_1}{SO}. $$

Здесь $$B_1C_1=a\sqrt{2}$$, $$AD=2R$$, $$SO_1=H-a$$, $$SO=H$$. Тогда

$$ \frac{a\sqrt{2}}{2R}=\frac{H-a}{H}. $$

Перемножим крест-накрест:

$$ aH\sqrt{2}=2RH-2Ra, $$
$$ a(2R+H\sqrt{2})=2RH. $$

Отсюда

$$ a=\frac{2RH}{2R+H\sqrt{2}}=\frac{HR\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}. $$