Упр.26 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 6-26. В конусе даны радиус основания $$R$$, высота $$H$$. Найдите ребро вписанного в него куба.

Рассмотрим осевое сечение конуса $$ASD$$. Оно является равнобедренным, так как $$SA=SD$$ — образующие конуса. В это сечение вписан прямоугольник $$BCC_1B_1$$, являющийся диагональным сечением куба.

Пусть $$a$$ — ребро куба. Тогда $$BB_1=a$$, а $$BC=a\sqrt{2}$$ — диагональ грани куба.

Так как $$B_1C_1 \parallel AD$$, то треугольцы $$\triangle ASD$$ и $$\triangle B_1C_1S$$ подобны. Поэтому

$$\frac{B_1C_1}{AD}=\frac{SO_1}{SO}.$$

Здесь $$B_1C_1=a\sqrt{2}$$, $$AD=2R$$, $$SO_1=H-a$$, $$SO=H$$. Тогда

$$\frac{a\sqrt{2}}{2R}=\frac{H-a}{H}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$a\sqrt{2}\,H=2R(H-a),$$

$$aH\sqrt{2}=2RH-2Ra,$$

$$a(2R+H\sqrt{2})=2RH.$$

Отсюда

$$a=\frac{2RH}{2R+H\sqrt{2}}=\frac{HR\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$\frac{HR\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}$$.