Упр.26 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а при параллельном переносе ему соответствуют точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$.

Так как параллельный перенос является движением, то он сохраняет расстояния. Поэтому

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1D_1=CD,\quad D_1A_1=DA.$$

Кроме того, при параллельном переносе точки переходят в точки одной и той же плоскости, значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ лежит в одной плоскости.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны:

$$AB=CD,\quad BC=DA.$$

Тогда

$$A_1B_1=AB=CD=C_1D_1,$$

$$B_1C_1=BC=DA=D_1A_1.$$

Следовательно, у четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ противоположные стороны попарно равны, значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм. При этом его стороны равны соответствующим сторонам параллелограмма $$ABCD$$, то есть полученный параллелограмм равен исходному.

Ответ: при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.