Упр.26 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все её точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Подробный ответ

Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$X$$ и $$Y$$ и опустим из них перпендикуляры на плоскость $$\alpha$$: $$XX’$$ и $$YY’$$. Их длины равны расстояниям от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\alpha$$.

Так как $$XX’ \perp \alpha$$ и $$YY’ \perp \alpha$$, то $$XX’ \parallel YY’$$. Следовательно, прямые $$XX’$$ и $$YY’$$ лежат в одной плоскости $$\beta$$, а плоскость $$\beta$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$X’Y’$$.

Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, значит, она не пересекает её. Поэтому в плоскости $$\beta$$ прямая $$a$$ не пересекает прямую $$X’Y’$$, то есть $$a \parallel X’Y’$$.

Итак, четырёхугольник $$XX’Y’Y$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны:

$$XX’ = YY’.$$

Но $$XX’$$ и $$YY’$$ — это расстояния от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\alpha$$. Значит, расстояния от любых двух точек прямой $$a$$ до плоскости $$\alpha$$ равны. Следовательно, все точки прямой $$a$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha$$.