Упр.25 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь четырехугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, вписанного в окружность, вычисляется по формуле $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p$$ — полупериметр данного четырехугольника.

Пусть $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$CD=c,$$ $$AD=d.$$ Проведём диагональ $$AC.$$ Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac{ab\sin\angle B}{2}+\frac{cd\sin\angle D}{2}.$$

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то $$\angle B+\angle D=180^\circ,$$ значит $$\sin\angle D=\sin\angle B.$$ Поэтому

$$S_{ABCD}=\frac{ab+cd}{2}\sin\angle B.$$

По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ACD$$ имеем:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle B,$$

$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos\angle D.$$

Так как $$\angle D=180^\circ-\angle B,$$ то $$\cos\angle D=-\cos\angle B.$$ Следовательно,

$$a^2+b^2-2ab\cos\angle B=c^2+d^2+2cd\cos\angle B,$$

откуда

$$\cos\angle B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

Тогда

$$\sin^2\angle B=1-\cos^2\angle B.$$

Подставим найденное значение:

$$\sin^2\angle B =1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)^2 =\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{2(ab+cd)}\cdot\frac{(a+b)^2-(c-d)^2}{2(ab+cd)}.$$

Разложим на множители:

$$\sin^2\angle B= \frac{(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}{4(ab+cd)^2}.$$

Обозначим полупериметр четырёхугольника через $$p$$:

$$p=\frac{a+b+c+d}{2}.$$

Тогда

$$c+d-a+b=2(p-a),\quad c+d+a-b=2(p-b),$$

$$a+b-c+d=2(p-c),\quad a+b+c-d=2(p-d).$$

Следовательно,

$$\sin^2\angle B= \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ab+cd)^2},$$

и потому

$$\sin\angle B=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ab+cd}.$$

Теперь подставим это в формулу площади:

$$S_{ABCD}=\frac{ab+cd}{2}\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ab+cd} =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Тем самым доказано, что площадь вписанного четырёхугольника выражается формулой

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$