Упр.25 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что площадь четырехугольника со сторонами а, b, с, d, вписанного в окружность, вычисляется по формулеS = корень (p — a)(p — b)(p — c)(p — d), где p — полупериметр данного четырехугольника.
Пусть $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$CD=c,$$ $$AD=d.$$ Проведём диагональ $$AC.$$ Тогда
$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac{ab\sin\angle B}{2}+\frac{cd\sin\angle D}{2}.$$
Так как четырёхугольник вписан в окружность, то $$\angle B+\angle D=180^\circ,$$ значит $$\sin\angle D=\sin\angle B.$$ Следовательно,
$$S_{ABCD}=\frac{ab+cd}{2}\sin\angle B.$$
По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ACD$$ имеем:
$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle B,$$
$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos\angle D.$$
Так как $$\angle D=180^\circ-\angle B,$$ то $$\cos\angle D=-\cos\angle B.$$ Тогда
$$a^2+b^2-2ab\cos\angle B=c^2+d^2+2cd\cos\angle B,$$
откуда
$$\cos\angle B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$
Теперь найдём $$\sin^2\angle B$$:
$$ \sin^2\angle B=1-\cos^2\angle B =\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{2(ab+cd)}\cdot\frac{(a+b)^2-(c-d)^2}{2(ab+cd)}. $$
Разложим на множители:
$$ \sin^2\angle B= \frac{(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}{4(ab+cd)^2}. $$
Обозначим полупериметр четырёхугольника через $$p$$:
$$p=\frac{a+b+c+d}{2}.$$
Тогда
$$ c+d-a+b=2(p-a),\quad c+d+a-b=2(p-b), $$
$$ a+b-c+d=2(p-c),\quad a+b+c-d=2(p-d). $$
Следовательно,
$$ \sin^2\angle B= \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ab+cd)^2}, $$
а значит
$$ \sin\angle B=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ab+cd}. $$
Подставим это в формулу площади:
$$ S_{ABCD}=\frac{ab+cd}{2}\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ab+cd} =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. $$
Ответ
$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$