Упр.25 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания l. Найдите боковую поверхность призмы.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину ребра $$CC_1$$. Тогда плоскость, проходящая через сторону основания $$AB$$ и точку $$M$$, — это плоскость $$ABM$$.

Опустим перпендикуляры $$CH$$ и $$MH$$ на прямую $$AB$$. Тогда угол между плоскостью $$ABM$$ и основанием призмы равен углу $$\angle MHC$$, то есть $$\angle MHC=45^\circ$$.

В основании призмы треугольник $$ABC$$ равносторонний, поэтому его высота

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}l.$$

Треугольник $$MHC$$ прямоугольный, так как $$MH\perp AB$$ и $$CH\perp AB$$. При этом

$$\angle CMH=90^\circ-\angle MHC=45^\circ.$$

Значит, $$\triangle MHC$$ — равнобедренный прямоугольный, откуда

$$MC=CH=\frac{\sqrt{3}}{2}l.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$CC_1$$, то

$$CM=MC_1,$$

следовательно,

$$CC_1=2MC=l\sqrt{3}.$$

Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot CC_1=3l\cdot l\sqrt{3}=3l^2\sqrt{3}.$$