Упр.25 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-25. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол $$45^\circ$$. Сторона основания $$l$$. Найдите боковую поверхность призмы.

Обозначим через $$M$$ середину ребра $$CC_1$$. Тогда плоскость, проходящая через сторону основания $$AB$$ и точку $$M$$, и есть данная плоскость.

Опустим перпендикуляры $$CH$$ и $$MH$$ на ребро $$AB$$. Тогда угол между плоскостью и основанием равен углу $$\angle MHC$$, то есть

$$\angle MHC=45^\circ.$$

Треугольник $$ABC$$ — равносторонний, поэтому его высота

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}l.$$

В треугольнике $$MHC$$ угол при $$H$$ прямой, а $$\angle MHC=45^\circ$$, значит треугольник $$MHC$$ равнобедренный. Следовательно,

$$MC=CH=\frac{\sqrt{3}}{2}l.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$CC_1$$, то

$$CC_1=2MC=l\sqrt{3}.$$

Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot CC_1=3l\cdot l\sqrt{3}=3l^2\sqrt{3}.$$

Ответ: $$3l^2\sqrt{3}$$.