Упр.25 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

Через точку $$B$$ проведём плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$. Такая плоскость единственна.

Возьмём в плоскости $$\alpha$$ произвольную точку $$A$$ и проведём через неё две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$a_1$$.

Пусть через точку $$B$$ проходят прямые $$b$$ и $$b_1$$, параллельные плоскости $$\alpha$$. Тогда по теореме о параллельных прямой и плоскости в плоскости $$\alpha$$ существуют прямые $$a$$ и $$a_1$$, проходящие через точку $$A$$ и параллельные соответственно прямым $$b$$ и $$b_1$$.

Так как прямые $$a$$ и $$a_1$$ пересекаются, то по теореме о двух пересекающихся прямых, параллельных соответственно двум пересекающимся прямым, плоскости, содержащие пары этих прямых, параллельны. Следовательно, плоскость, содержащая прямые $$b$$ и $$b_1$$, параллельна плоскости $$\alpha$$.

Но через точку $$B$$ существует единственная плоскость, параллельная $$\alpha$$, а именно $$\beta$$. Значит, прямые $$b$$ и $$b_1$$ лежат в одной плоскости $$\beta$$.

Следовательно, все прямые, проходящие через точку $$B$$ и параллельные плоскости $$\alpha$$, лежат в одной плоскости.