Упр.25 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

Подробный ответ

Через точку $$B$$ проведём плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$. По теореме о единственности такой плоскости она одна.

Возьмём в плоскости $$\alpha$$ произвольную точку $$A$$ и проведём через неё две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$a_1$$. Пусть через точку $$B$$ проходят прямые $$b$$ и $$b_1$$, причём $$b \parallel \alpha$$ и $$b_1 \parallel \alpha$$.

Так как прямая, параллельная плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то в плоскости $$\alpha$$ существуют прямые $$a \parallel b$$ и $$a_1 \parallel b_1$$, проходящие через точку $$A$$.

Прямые $$a$$ и $$a_1$$ пересекаются, значит, они задают плоскость. По теореме о параллельных плоскостях прямые $$b$$ и $$b_1$$, параллельные соответственно $$a$$ и $$a_1$$, лежат в плоскости, параллельной плоскости $$\alpha$$. Но через точку $$B$$ такая плоскость единственна, следовательно, это плоскость $$\beta$$.

Значит, все прямые, проходящие через точку $$B$$ и параллельные плоскости $$\alpha$$, лежат в одной плоскости $$\beta$$.