Упр.24 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

Пусть радиус шара равен $$R$$. Тогда диаметр шара $$2R$$, а по условию высота цилиндра равна его диаметру, значит $$h=2R$$. Наибольший шар, который можно выточить из цилиндра, имеет радиус $$R$$, поэтому цилиндр описан около шара.

Объём шара:

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Объём цилиндра:

$$V_{\text{ц}}=\pi R^2h=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3.$$

Тогда объём сточенного материала равен

$$V_{\text{ст}}=V_{\text{ц}}-V_{\text{ш}}=2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3.$$

Искомая доля сточенного материала:

$$\frac{V_{\text{ст}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac{1}{3}.$$

Значит, сточено

$$\frac{1}{3}\cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%.$$

Ответ

$$33\frac{1}{3}\%$$