Упр.24 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметpy основания, выточен наибольший шар. Сколько процен тов материала сточено?

Подробный ответ

Пусть радиус наибольшего шара равен $$R$$. Тогда диаметр шара равен $$2R$$.

По условию высота цилиндра равна диаметру его основания, а шар выточен наибольший, значит в осевом сечении цилиндра получается квадрат со стороной $$2R$$. Следовательно, радиус основания цилиндра равен $$R$$, а его высота равна $$2R$$.

Объём шара:

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Объём цилиндра:

$$V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3.$$

Тогда объём сточенного материала:

$$V_{\text{ст}}=V_{\text{ц}}-V_{\text{ш}}=2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3.$$

Искомая доля сточенного материала от объёма цилиндра:

$$\frac{V_{\text{ст}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac{1}{3}.$$

Значит, сточено $$\frac{1}{3}$$ материала, то есть $$33\frac{1}{3}\%$$.