Упр.24 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Площади оснований усеченного конуса M и т. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $$BC=2R_1$$ и $$AD=2R_2$$, где $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы оснований усечённого конуса.

По условию площади оснований равны $$m$$ и $$M$$, значит

$$ S_1=\pi R_1^2=m,\qquad S_2=\pi R_2^2=M. $$

Отсюда

$$ R_1=\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad R_2=\sqrt{\frac{M}{\pi}}. $$

Тогда диаметры оснований равны

$$ BC=2R_1=2\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad AD=2R_2=2\sqrt{\frac{M}{\pi}}. $$

Среднее сечение усечённого конуса параллельно основаниям проходит через середину высоты, поэтому в осевом сечении оно соответствует средней линии трапеции. Следовательно, его диаметр равен

$$ MN=\frac{BC+AD}{2} =\frac{2\sqrt{\frac{m}{\pi}}+2\sqrt{\frac{M}{\pi}}}{2} =\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{\sqrt{\pi}}. $$

Радиус среднего сечения:

$$ R=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}. $$

Тогда площадь среднего сечения равна

$$ S=\pi R^2 =\pi\left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 =\frac{(\sqrt{M}+\sqrt{m})^2}{4}. $$