Упр.24 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Площади оснований усечённого конуса равны $$M$$ и $$N$$. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований конуса:
$$BC=2R_1,\qquad AD=2R_2.$$
Площади оснований усечённого конуса равны $$m$$ и $$M$$, значит
$$\pi R_1^2=m,\qquad \pi R_2^2=M,$$
откуда
$$R_1=\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad R_2=\sqrt{\frac{M}{\pi}}.$$
Тогда
$$BC=2\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad AD=2\sqrt{\frac{M}{\pi}}.$$
Среднее сечение параллельно основаниям проходит через середину высоты усечённого конуса, поэтому в осевом сечении оно соответствует средней линии трапеции. Следовательно, его диаметр равен
$$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2\sqrt{\frac{m}{\pi}}+2\sqrt{\frac{M}{\pi}}}{2}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{\sqrt{\pi}}.$$
Радиус среднего сечения:
$$R=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}.$$
Тогда площадь среднего сечения равна
$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2=\frac{(\sqrt{M}+\sqrt{m})^2}{4}.$$
Ответ: $$\frac{(\sqrt{M}+\sqrt{m})^2}{4}$$.
