Упр.24 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на $$26\ \text{см}$$ больше другой, а проекции наклонных равны $$12\ \text{см}$$ и $$40\ \text{см}$$; 2) наклонные относятся как $$1:2$$, а проекции наклонных равны $$1\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$.

Пусть $$SO\perp \alpha$$, тогда для наклонных $$SA$$ и $$SB$$ их проекции на плоскость равны соответственно $$AO$$ и $$BO$$. Для каждого случая используем теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках $$SAO$$ и $$SBO$$:

а)

Пусть $$SA=x$$, $$SB=y$$, причём $$x>y$$. Тогда

$$x-y=26.$$

По теореме Пифагора:

$$SO^2=x^2-40^2=y^2-12^2.$$

Следовательно,

$$x^2-1600=y^2-144.$$

Подставим $$x=y+26$$:

$$(y+26)^2-1600=y^2-144$$

$$y^2+52y+676-1600=y^2-144$$

$$52y=780$$

$$y=15.$$

Тогда

$$x=15+26=41.$$

б)

Пусть $$SA=x$$, тогда $$SB=2x$$.

По теореме Пифагора:

$$SO^2=x^2-1^2=(2x)^2-7^2.$$

Получаем

$$x^2-1=4x^2-49$$

$$3x^2=48$$

$$x^2=16$$

$$x=4.$$

Значит,

$$SA=4\text{ см},\qquad SB=8\text{ см}.$$

Ответ

а) $$SA=41\text{ см},\ SB=15\text{ см}$$; б) $$SA=4\text{ см},\ SB=8\text{ см}$$.