Упр.24 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

а) Пусть $$SA=x$$, $$SB=y$$, причём $$x>y$$, так как $$AO>OB$$. Тогда по условию

$$x-y=26,$$
$$x=26+y.$$

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $$SAO$$ и $$SBO$$:

$$SO^2=SA^2-AO^2=SB^2-OB^2,$$

то есть

$$x^2-40^2=y^2-12^2.$$

Подставим $$x=26+y$$:

$$ (26+y)^2-1600=y^2-144,$$
$$676+52y+y^2-1600=y^2-144,$$
$$52y=780,$$
$$y=15.$$

Тогда

$$x=26+15=41.$$

Значит, $$SB=15$$ см, $$SA=41$$ см.

б) Пусть $$SA=x$$, тогда $$SB=2x$$.

По теореме Пифагора для треугольников $$SAO$$ и $$SBO$$:

$$SA^2-AO^2=SB^2-BO^2,$$

то есть

$$x^2-1=(2x)^2-7^2.$$

Получаем:

$$x^2-1=4x^2-49,$$
$$3x^2=48,$$
$$x^2=16,$$
$$x=4.$$

Следовательно,

$$SA=4$$ см, $$SB=8$$ см.

Ответ

а) $$SA=41$$ см, $$SB=15$$ см; б) $$SA=4$$ см, $$SB=8$$ см.