Упр.24 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются. Докажите, что любая плоскость $$\gamma$$ пересекает хотя бы одну из плоскостей $$\alpha$$, $$\beta$$.

Докажем утверждение от противного.

Пусть плоскость $$\gamma$$ не пересекает ни плоскость $$\alpha$$, ни плоскость $$\beta$$. Тогда $$\alpha \parallel \gamma$$ и $$\beta \parallel \gamma$$.

Но по условию плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются, значит, у них есть общая точка $$A$$.

Через точку $$A$$ проходят две различные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$, обе параллельные плоскости $$\gamma$$. Это невозможно, так как через одну точку можно провести только одну плоскость, параллельную данной.

Получили противоречие. Следовательно, плоскость $$\gamma$$ пересекает хотя бы одну из плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Ответ

Любая плоскость $$\gamma$$ пересекает хотя бы одну из плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$.