Упр.23 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая пересекает стороны $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Прямая пересекает его стороны $$BC,$$ $$CA$$ и $$AB$$ в точках $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ соответственно.

Обозначим через $$M,$$ $$K,$$ $$N$$ середины сторон $$AB,$$ $$BC$$ и $$CA$$. Пусть $$D,$$ $$E,$$ $$F$$ — середины отрезков $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соответственно. Нужно доказать, что точки $$D,$$ $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой.

Так как точки $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой, то по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=-1.$$

Теперь рассмотрим средние линии треугольников:

$$ME \parallel AB_1,\qquad EK \parallel B_1C,\qquad NF \parallel AC_1.$$

Из подобия соответствующих треугольников получаем

$$\frac{ME}{AB_1}=\frac{MB}{AB}=\frac12,$$

$$\frac{EK}{B_1C}=\frac12,$$

а также аналогично

$$\frac{MD}{BA_1}=\frac12,\qquad \frac{DN}{A_1C}=\frac12,\qquad \frac{NF}{C_1B}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{MD}{DN},\qquad \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{NF}{FK},\qquad \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{EK}{ME}.$$

Подставляя эти равенства в формулу Менелая, получаем