Упр.23 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения $$4\ \text{м}^2$$, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями $$2\ \text{м}$$. Найдите объем призмы.
Пусть $$O$$ — центр основания правильной шестиугольной призмы. Тогда наибольшее диагональное сечение проходит через две противоположные боковые грани и является прямоугольником.
Обозначим сторону основания через $$a$$, а высоту призмы через $$h$$. По условию расстояние между противоположными боковыми гранями равно $$2$$ м, значит апофема правильного шестиугольника равна $$1$$ м. Для правильного шестиугольника
$$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a,$$
откуда
$$\frac{\sqrt{3}}{2}a=1,\qquad a=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Диагональ основания, проходящая через центр, равна
$$d=2a=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$
Площадь наибольшего диагонального сечения равна произведению этой диагонали на высоту призмы:
$$dh=4.$$
Тогда
$$h=\frac{4}{d}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}.$$
Найдём площадь основания правильного шестиугольника:
$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2=2\sqrt{3}.$$
Тогда объём призмы
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6.$$
Ответ: $$6\ \text{м}^3$$.
