Упр.23 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Пусть $O$ — центр основания правильной шестиугольной призмы. Тогда диагональное сечение $AA_1D_1D$ — прямоугольник, и его площадь равна

$$S_{AA_1D_1D}=4\ \text{м}^2.$$

В правильном шестиугольнике расстояние между противоположными боковыми гранями равно удвоенному радиусу описанной окружности основания, то есть

$$AD=2R.$$

Найдём $R$. В правильном шестиугольнике

$$\angle CAB=\frac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ,$$

поэтому

$$\angle CAH=\frac{1}{2}\angle CAB=60^\circ.$$

Так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то

$$CB=R,$$

а значит

$$CH=\frac{1}{2}CB=\frac{R}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем

$$\sin 60^\circ=\frac{CH}{AC},$$

откуда

$$AC=\frac{CH}{\sin 60^\circ}=\frac{R/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{R}{\sqrt{3}}.$$

Но $AC=R$, следовательно, из условия на расстояние между противоположными боковыми гранями получаем

$$AD=2R=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \text{м}.$$

Теперь из площади диагонального сечения:

$$S_{AA_1D_1D}=AD\cdot AA_1,$$

значит

$$AA_1=\frac{S_{AA_1D_1D}}{AD}=\frac{4}{4\sqrt{3}/3}=\sqrt{3}\ \text{м}.$$

Найдём площадь основания призмы. Основание — правильный шестиугольник, состоящий из 6 равных треугольников со стороной $R$:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{1}{2}R^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \text{м}^2.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6\ \text{м}^3.$$