Упр.22 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Прямая, проходящая через середины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, пересекает его противолежащие стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что AM : MB = CN : ND.

Подробный ответ

Продолжим прямую $$MN$$ до пересечения со стороной $$DA$$ в точке $$A’$$.

Рассмотрим треугольник $$DAB$$. Точки $$A’$$, $$M$$ и $$E$$ лежат на одной прямой, поэтому по теореме Менелая для треугольника $$DAB$$ имеем:

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BE}{ED}\cdot \frac{DA’}{A’A}=-1.$$

Так как $$DE=EB$$, то $$\frac{BE}{ED}=1$$, и потому

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{DA’}{A’A}=-1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CAD$$. Точки $$A’$$, $$F$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая для треугольника $$CAD$$:

$$\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{AF}{FC}\cdot \frac{CN}{ND}=-1.$$

Так как $$AF=FC$$, то $$\frac{AF}{FC}=1$$, следовательно,

$$\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{CN}{ND}=-1.$$

Из двух полученных равенств получаем:

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{DA’}{A’A}=\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{CN}{ND}.$$