Упр.22 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, проходящая через середины диагоналей выпуклого четырехугольника $$ABCD$$, пересекает его противолежащие стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что $$AM:MB=CN:ND$$.

Продолжим прямую $$MN$$ до пересечения со стороной $$DA$$ в точке $$A’$$.

Рассмотрим треугольник $$DAB$$. Точки $$A’$$, $$M$$ и $$E$$ лежат на одной прямой, поэтому по теореме Менелая для треугольника $$DAB$$ имеем:

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BE}{ED}\cdot \frac{DA’}{A’A}=-1.$$

Так как $$DE=EB$$, то $$\frac{BE}{ED}=1$$, и потому

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{DA’}{A’A}=-1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CAD$$. Точки $$A’$$, $$F$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:

$$\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{AF}{FC}\cdot \frac{CN}{ND}=-1.$$

Так как $$AF=FC$$, то $$\frac{AF}{FC}=1$$, следовательно,

$$\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{CN}{ND}=-1.$$

Из двух полученных равенств следует:

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{DA’}{A’A}=\frac{DA’}{A’A}\cdot \frac{CN}{ND}.$$

Сокращая на $$\frac{DA’}{A’A}$$, получаем

$$\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}.$$

Что и требовалось доказать.