Упр.22 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $$a$$, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите её объём.

Пусть $$h$$ — высота призмы. Основание призмы — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит его площадь равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=3a\cdot h.$$

По условию $$S_{\text{бок}}$$ равна сумме площадей оснований, то есть

$$3ah=2S_{\text{осн}}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Отсюда

$$h=\frac{\sqrt{3}}{6}a.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{3a^3}{24}=\frac{a^3}{8}.$$

Ответ

$$\frac{a^3}{8}$$