Упр.22 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.

Подробный ответ

Пусть основание призмы — правильный треугольник со стороной $$a$$. Тогда его площадь равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Боковая поверхность правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=3a\cdot h.$$

По условию боковая поверхность равновелика сумме оснований, то есть

$$3ah=2S_{\text{осн}}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Отсюда

$$h=\frac{\sqrt{3}}{6}a.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{3a^3}{24}=\frac{a^3}{8}.$$