Упр.22 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что при движении в пространстве три точки лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежа щие на одной прямой.

Подробный ответ

Пусть $$A, B, C$$ — произвольные точки одной прямой, причём точка $$B$$ лежит между $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$AB+BC=AC.$$

При движении точки переходят в точки $$A’, B’, C’$$, а отрезки сохраняют длины, значит

$$A’B’=AB,\quad B’C’=BC,\quad A’C’=AC.$$

Подставим это в равенство $$AB+BC=AC$$:

$$A’B’+B’C’=A’C’.$$

Но если для трёх точек выполняется равенство $$A’B’+B’C’=A’C’,$$ то точка $$B’$$ лежит между $$A’$$ и $$C’$$, следовательно, точки $$A’, B’, C’$$ лежат на одной прямой.

Итак, при движении в пространстве три точки, лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.