Упр.22 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.

Проведём из точки $$S$$ к плоскости $$\alpha$$ несколько наклонных одинаковой длины, пусть они пересекают плоскость в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SO$$ на плоскость $$\alpha$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SAO$$, $$SBO$$ и $$SCO$$. У них:

$$SA=SB=SC$$ — по условию,
$$SO$$ — общая сторона.

Значит, по теореме Пифагора

$$OA^2=SA^2-SO^2,$$
$$OB^2=SB^2-SO^2,$$
$$OC^2=SC^2-SO^2.$$

Так как $$SA=SB=SC$$, то

$$OA=OB=OC.$$

Следовательно, все основания наклонных одной и той же длины лежат на окружности с центром в точке $$O$$ — основании перпендикуляра, опущенного из точки $$S$$ на плоскость $$\alpha$$.

Ответ: окружность с центром в основании перпендикуляра, опущенного из точки $$S$$ на плоскость $$\alpha$$.