Упр.22 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны четыре точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым $$AB$$ и $$CD$$, пересекает прямые $$AC$$, $$AD$$, $$BD$$ и $$BC$$ в вершинах параллелограмма (рис. 35).

Подробный ответ

Пусть плоскость $$\gamma$$ параллельна прямым $$AB$$ и $$CD$$. Она пересекает прямые $$AC, AD, BD, BC$$ в точках $$E, F, K, N$$ соответственно.

Рассмотрим плоскость $$ADC$$. Так как $$\gamma \parallel CD$$ и прямая $$FE \subset \gamma$$, то в плоскости $$ADC$$ получаем $$FE \parallel DC$$.

Аналогично, в плоскости $$BDC$$ имеем $$KN \parallel DC$$. Следовательно, $$FE \parallel KN$$.

Теперь рассмотрим плоскости $$ACB$$ и $$ADB$$. Из параллельности $$\gamma \parallel AB$$ получаем:

$$FK \parallel AB,\qquad EN \parallel AB,$$

значит, $$FK \parallel EN$$.

Итак, в четырёхугольнике $$FEKN$$ обе пары противоположных сторон параллельны:

$$FE \parallel KN,\qquad FK \parallel EN.$$

Следовательно, $$FEKN$$ — параллелограмм.