Упр.22 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны четыре точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD и BC в вершинах параллелограмма (рис. 35).

Подробный ответ

Пусть плоскость $$\gamma$$ параллельна прямым $$AB$$ и $$CD$$. Тогда она пересекает прямые $$AC, AD, BD, BC$$ соответственно в точках $$E, F, K, N$$.

Рассмотрим плоскость $$ADC$$. В ней лежит прямая $$DC$$, а прямая $$FE$$ принадлежит плоскости $$\gamma$$. Так как $$\gamma \parallel CD$$, то по свойству параллельных плоскостей получаем $$FE \parallel DC$$.

Аналогично, рассмотрим плоскость $$BDC$$. В ней лежит прямая $$DC$$, а прямая $$KN$$ принадлежит плоскости $$\gamma$$. Следовательно, $$KN \parallel DC$$. Значит, $$KN \parallel FE$$.

Теперь рассмотрим плоскости $$ACB$$ и $$ADB$$. Аналогично получаем:

$$FK \parallel AB,$$

$$EN \parallel AB,$$

откуда $$FK \parallel EN$$.

Итак, в четырёхугольнике $$EFKN$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны:

$$FE \parallel KN,$$

$$FK \parallel EN.$$

Следовательно, $$EFKN$$ — параллелограмм.