Упр.21 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Ha медиане CM треугольника ABC дана точка P, через которую проведены прямые AP и BP, пересекающие стороны BC и AC треугольника в точках A’ и B’ соответственно. Докажите, что если AA’ = BB’ то данный треугольник равнобедренный.
Обозначим точки пересечения прямых $$AP$$ и $$BP$$ со сторонами $$CB$$ и $$CA$$ соответственно через $$A’$$ и $$B’$$.
Так как прямые $$CM$$, $$AA’$$ и $$BB’$$ пересекаются в одной точке $$P$$, то по теореме Чевы
$$ \frac{AM}{MB}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1. $$
Но $$CM$$ — медиана, значит $$AM=MB$$. Тогда
$$ \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1. $$
Преобразуем это равенство:
$$ \frac{BA’}{A’C}=\frac{B’A}{CB’}. $$
Сложим по единице в обеих частях:
$$ \frac{BA’}{A’C}+1=\frac{B’A}{CB’}+1, $$
откуда
$$ \frac{BA’+A’C}{A’C}=\frac{B’A+CB’}{CB’}. $$
Так как $$BA’+A’C=BC$$ и $$B’A+CB’=AC$$, получаем
$$ \frac{BC}{A’C}=\frac{AC}{CB’}. $$
Следовательно,
$$ \frac{AC}{BC}=\frac{A’C}{CB’}. $$
Рассмотрим треугольники $$\triangle AA’C$$ и $$\triangle BB’C$$. У них
$$ \angle ACA’=\angle BCB’ $$
как общий угол при вершине $$C$$, и
$$ \frac{AC}{BC}=\frac{A’C}{CB’}. $$
Значит, $$\triangle AA’C \sim \triangle BB’C$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$ \frac{AA’}{BB’}=\frac{AC}{BC}. $$
По условию $$AA’=BB’$$, значит
$$ \frac{AC}{BC}=1, $$
то есть
$$ AC=BC. $$
Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
Ответ
$$AC=BC,$$ значит $$\triangle ABC$$ равнобедренный.