Упр.21 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На медиане $$CM$$ треугольника $$ABC$$ дана точка $$P$$, через которую проведены прямые $$AP$$ и $$BP$$, пересекающие стороны $$BC$$ и $$AC$$ треугольника в точках $$A’$$ и $$B’$$ соответственно. Докажите, что если $$AA’=BB’$$, то данный треугольник равнобедренный.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AA’C$$ и $$BB’C$$.

Так как точки $$A’$$ и $$B’$$ лежат соответственно на сторонах $$BC$$ и $$AC$$, то углы при вершине $$C$$ у этих треугольников равны:

$$\angle ACA’=\angle BCB’=\angle C.$$

Кроме того, точки $$C,\ P,\ M$$ лежат на одной прямой, а $$M$$ — середина стороны $$AB$$, значит прямая $$CM$$ является медианой. По условию прямые $$AA’$$ и $$BB’$$ пересекаются в точке $$P$$, поэтому для треугольника $$ABC$$ и секущих $$AA’$$, $$BB’$$ можно применить теорему Чевы:

$$\frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}\cdot \frac{AM}{MB}=1.$$

Так как $$CM$$ — медиана, то $$AM=MB$$, следовательно

$$\frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1.$$

По условию $$AA’=BB’$$, значит

$$BA’=AB-AA’$$ и $$CB’=AC-BB’.$$

Из равенства $$AA’=BB’$$ получаем $$BA’=AB-BB’$$ и $$CB’=AC-AA’$$, поэтому из предыдущего соотношения следует, что

$$\frac{BA’}{A’C}=\frac{B’A}{CB’}.$$

Тогда треугольники $$AA’C$$ и $$BB’C$$ подобны по двум углам, а из равенства соответствующих сторон получаем

$$\frac{AC}{BC}=\frac{A’C}{B’C}.$$

С другой стороны, из подобия этих треугольников и условия $$AA’=BB’$$ имеем

$$\frac{AA’}{BB’}=1,$$

значит, коэффициент подобия равен $$1$$, то есть